CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO CON FUENTES DE ENERGÍA INTERNAS
Cuando se tienen fuentes de calor internas, las condiciones de frontera para la resolución de la ley de Fourier son diferentes y por lo tanto la ecuación de transporte de energía resultante cambia. El balance de energía general se puede escribir como:
Existen muchas fuentes de energía calorífica, aquí se estudiaran 4 casos: el efecto Joule, la fricción viscosa de un fluido entre dos cilindros, reacciones químicas y reacciones nucleares.
- Efecto Joule
Se conoce como efecto Joule al fenómeno irreversible en el cual si circula corriente eléctrica a través de un conductor, parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los átomos del material por el que circulan, elevando la temperatura de éste.
Para este sistema, la ecuación de balance se expresa de la siguiente manera:
En donde Se es la velocidad de generación por unidad de volumen.
Ecuación diferencial y condiciones a la frontera:
para r=0 , qᵣ no es infinito
para r=0 , qᵣ no es infinito
para r=R , T=T₀
Resolviendo:
Con la ecuación anterior se puede obtener el perfil de temperaturas, el cual es parabólico y su máximo valor es en r=0, por lo que la expresión para calcular el incremento máximo de temperatura queda de la siguiente manera:
Ésta temperatura máxima también depende de la relación de conductividades eléctrica y térmica, de la geometría del conductor, es decir su radio, longitud, y de la temperatura inicial en la superficie del conductor.
Existe una relación entre la temperatura máxima y la diferencia de potencial, si se sustituye la ley de Ohm en la ecuación:
Ésta temperatura máxima también depende de la relación de conductividades eléctrica y térmica, de la geometría del conductor, es decir su radio, longitud, y de la temperatura inicial en la superficie del conductor.
Existe una relación entre la temperatura máxima y la diferencia de potencial, si se sustituye la ley de Ohm en la ecuación:
Y posteriormente éste término en en la expresión para la diferencia de temperaturas , se obtiene la relación entre la diferencia de potencial E y la temperatura máxima:
Resolviendo con la aproximación de fluido entre dos placas paralelas de pequeño espesor, se llega a una ecuación para obtener el perfil de temperaturas:
En donde:
Todas las reacciones químicas se pueden catalogar termodinámicamente en dos grupos: exotérmicas o endotérmicas según liberen energía o requieran energía para llevarse a cabo.
La energía química se transforma en energía térmica, resultando en:
G > 0 para las reacciones endotérmicas
G < 0 para las reacciones exotérmicas
Sólo en la zona II que es donde se lleva a cabo la reacción exotérmica, hay una generación de calor, resolviendo la ecuación diferencial para ésta zona, llegamos a la siguiente expresión para calcular el perfil de temperaturas, el cual es una suma de exponenciales.
- Viscosidad
Resolviendo con la aproximación de fluido entre dos placas paralelas de pequeño espesor, se llega a una ecuación para obtener el perfil de temperaturas:
En donde:
- Reacción química
Todas las reacciones químicas se pueden catalogar termodinámicamente en dos grupos: exotérmicas o endotérmicas según liberen energía o requieran energía para llevarse a cabo.
La energía química se transforma en energía térmica, resultando en:
G > 0 para las reacciones endotérmicas
G < 0 para las reacciones exotérmicas
Sólo en la zona II que es donde se lleva a cabo la reacción exotérmica, hay una generación de calor, resolviendo la ecuación diferencial para ésta zona, llegamos a la siguiente expresión para calcular el perfil de temperaturas, el cual es una suma de exponenciales.
Las
constantes de altura y crecimiento dependen de N y B que
son funciones de los materiales, de las condiciones de
flujo y de la geometría.
- Reacción nuclear
El perfil de temperaturas para éste sistema se puede calcular mediante las ecuaciones:
En donde:
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